Question

如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y。
（1）写出y关于x的函数关系式，指出这个函数的定义域；
（2）当AE为何值时，绿地面积最大？

Answer 1

解：（1）S_ΔAEH=S_ΔCFG=x²，S_ΔBEF=S_ΔDGH=（a-x）（2-x），
∴y=S_ABCD-2S_ΔAEH-2S_ΔBEF=2a-x²-（a-x）（2-x）=-2x²+（a+2）x，
由，得0＜x≤2，
∴y=-2x²+（a+2）x，0＜x≤2。
（2） 当，即2＜a＜6时，则x=时，y取最大值；
当≥2，即a≥6时，y=-2x²+（a+2）x，在(0，2]上是增函数，
则x=2时，y取最大值2a-4；
综上所述：当2＜a＜6时，AE=时，绿地面积取最大值；
当a≥6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a-4。