Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx，且f′（-1）=0。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）令a=-1，设函数f（x）在x₁、x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂））。证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点。

Answer 1

解；（1）依题意，得
由得。
（2）由（1）得
故
令f′（x）=0
则或
①当时，
当x变化时，与的变化情况如下表：

由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
②由时，，此时，恒成立，且仅在处，
故函数f（x）的单调区间为R；
③当时，，同理可得函数f（x）的单调增区间为和，
单调减区间为
综上：当时，函数f（x）的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数f（x）的单调增区间为和，单调减区间为。
（3）当时，得
由，得
由（2）得f（x）的单调增区间为和，单调减区间为
所以函数f（x）在，处取得极值。
故，
所以直线MN的方程为
由得
令
易得，
而的图像在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段与曲线f（x）有异于M，N的公共点。