Question

设定义域为R的函数f（x）

|lgx|，x＞0 -x 2-2x，x≤0

，若关于x的方程2f²（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是

-1.5＜b＜-

2

．

Answer 1

分析：题中原方程2f²（x）+2bf（x）+1=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数K，有2个不同的K，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解
故先根据题意作出f（x）的简图：
由图可知，只有满足条件的K在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．

解答：解：根据题意作出f（x）的简图：
由图象可得当f（x）∈（0，1）时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中“方程2f²（x）+2bf（x）+1=0有8个不同实数解“，可以分解为形如关于K的方程2k²+2bK+1=0有两个不同的实数根K₁、K_²，且K₁和K_²均为大于0且小于1的实数．
列式如下：

△=4b2-8＞0 0＜K1+K2＜2 K1•K2＞0 (K1-1) (K2-1)＞0

，即

b2＞2 0＜-b＜2 b＞- 3 2

，可得-1.5＜b＜-

2

故答案为：-1.5＜b＜-

2

点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．