Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′（x）为f（x）的导函数．已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f（2a+b）＞1，则的取值范围是

1. A.
   （
2. B.
   
3. C.
   （-2，1）
4. D.
   （-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

A
分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用线性规划的方法得到答案．
解答：解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＜0，原函数单调递减，
∵两正数a，b满足f（2a+b）＞1，且f（2）=1，
∴2a+b＜2，a＞0，b＞0，画出可行域如图．
k=表示点Q（2，1）与点P（x，y）连线的斜率，
当P点在A（1，0）时，k最大，最大值为：；
当P点在B（0，2）时，k最小，最小值为：．
k的取值范围是（-，1）．
故选A．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．