Question

已知函数f（x）=x²-2ax
（1）若函数在（-∞，2]上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，求a的值；
（2）若函数在（-∞，2]上减函数，求a的取值范围；
（3）若x∈[0，4]，求函数的最小值．

Answer 1

解：（1）f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，
则f（x）在（-∞，a]上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，
由函数在（-∞，2]上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，得a=2；
（2）若函数f（x）在（-∞，2]上减函数，则（-∞，2]⊆（-∞，a]，
所以a≥2；
（3）①当a＜0时，f（x）在[0，4]上递增，f_min（x）=f（0）=0；
②当0≤a≤4时，f_min（x）=f（a）=-a²；
③当a＞4时，f（x）在[0，4]上递减，f_min（x）=f（4）=16-8a．
综上所述，f_min（x）=．
分析：（1）f（x）=（x-a）²-a²，则f（x）在（-∞，a]上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，根据所给单调性即可求得a值；
（2）由f（x）在（-∞，2]上减函数，知（-∞，2]⊆（-∞，a]，从而可得a的范围；
（3）分a＜0，0≤a≤4，a＞4进行讨论，借助单调性即可求出最小值；
点评：本题考查二次函数的单调性及二次函数在闭区间上的最值求解，考查分类讨论思想，属中档题．