Question

如图，在直三棱柱中，，，是中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）参考解析；（2）

试题分析：（1）直线与平面垂直的证明，对于理科生来说主要是以建立空间直角坐标系为主要方法，所以根据题意建立坐标系后，写出相应的点的坐标.根据向量证明向量与平面内的两个相交向量的数量积为零即可.
（2）证明直线与平面所成的角的正弦值，主要是通过求出平面的法向量与该直线的夹角的余弦值，再通过两角的互余关系转化为正弦值.
试题解析：（1）证明:因为是直三棱柱，
所以，
又，
即.
如图所示，建立空间直角坐标系.

,,,，
所以 ，，
.
又因为 ，，
所以 ，，平面.
（2）解：由（1）知，是平面的法向量，
，
则 .
设直线与平面所成的角为， 则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.