Question

已知函数f（x）=lnax-

x-a

x

（a≠0）．
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：a=1时，对于任意正整数n，均有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

；
（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意知a≠0，先对函数求导，分a＞0，a＜0讨论函数的定义域及单调区间，从而确定最值．
（II）当a=1时由（I）知函数f（x）的定义域（0，+∞），在（0，1）是减函数，[1，+∞）是增函数，从而有f（x）≥f（1）?

1

x

≥ln

e

x

，分别把x=1，2，3…代入不等式相加可证
（III）假设存在满足条件的直线与函数相切，根据导数的几何意义，求出切线方程，结合导数的知识推导．

解答：（Ⅰ）解：由题意f′(x)=

x-a

x2

．（1分）
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，f_min（x）=f（a）=lna²，无最大值．（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，f_min（x）=f（a）=lna²，无最大值．（5分）
（Ⅱ）取a=1，由（1）知f(x)=lnx-

x-1

x

≥f(1)=0，
故

1

x

≥1-lnx=ln

e

x

，
取x=1，2，3，，
则1+

1

2

+

1

3

++

1

n

≥ln

en

n!

．（8分）
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设其中一个切点T(x0，lnx0-

x0-1

x0

)，
切线方程：y+1=

x0-1

x02

(x-1)，将点T坐标代入得：lnx0-

x0-1

x0

+1=

(x0-1)2

x02

，即lnx0+

3

x0

-

1

x02

-1=0，①
设g(x)=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，则g′(x)=

(x-1)(x-2)

x3

．（10分）
∵x＞0，
∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）_极大值=g（1）=1＞0，g（x）_极小值=g（2）=ln2+

1

4

＞0．
又g(

1

4

)=ln

1

4

+12-16-1=-ln4-3＜0，
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在(

1

4

，1)内有且仅有一根
所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．（12分）

点评：本题考查了导数的应用：利用导数研究函数单调区间及求最值问题，而对不等式的证明问题，主要是结合函数的单调性，对于存在性问题，通常是先假设存在，由假设出发进行推导，若推出矛盾，说明假设错误，即不存在，反之说明存在．