Question

设双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为

3

4

c．
（1）求双曲线的离心率；
（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）a＞b可得e＞

2

，可设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，由原点到直线l的距离为

3

4

c得d=

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

4

c，结合e＞

2

可求e
（2）由（1）知道e=2即c=2a，所以设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

3a2

=1，又由题意得直线m方程为y=2（x-2a），代入双曲线方程得，记直线m与双曲线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），结合方程的根与系数关系及弦长公式|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(256a2-76a2)

=30a=15可求a，进而可求双曲线方程

解答：解：（1）b＞a⇒b2＞a2⇒c2-a2＞a2⇒c2＞2a2⇒e2＞2⇒e＞

2

…（2分）
直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，由原点到直线l的距离为

3

4

c得d=

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

4

c，即16a²（c²-a²）=3c⁴，…（4分）
两边同时除以a⁴得16（e²-1）=3e⁴，整理得3e⁴-16e²+16=0，解得e2=

4

3

或4…（5分）
又e＞

2

，故双曲线的离心率为e=2…（6分）
（2）由（1）知道e=2即c=2a，所以设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

3a2

=1
又由题意得直线m方程为y=2（x-2a），代入双曲线方程得 …（7分）
3x²-4（x-2a）²=3a²，整理得x²-16ax+19a²=0…（8分）
记直线m与双曲线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=16a，x₁x₂=19a²…（9分）∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(256a2-76a2)

=30a=15∴a=

1

2

…（11分）
∴所求双曲线方程为

x2

1 4

-

y2

3 4

=1…（12分）

点评：本题主要考查了利用双曲线的性质求解双曲线的离心率，求解双曲线的方程，直线与双曲线的相叫关系的应用，方程的根与系数的关系的应用，属于知识的综合应用．