Question

已知函数f（x）=x³-

1

2

x2+bx+c．
（1）若f（x）有极值，求b的取值范围；
（2）当f（x）在x=1处取得极值时，①若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围；②证明：对[-1，2]内的任意两个值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

7

2

．

Answer 1

分析：（1）若f（x）有极值，求导，令导数等于零，则方程有不等实数根，从而求得b的取值范围；（2）当f（x）在x=1处取得极值时，则f′（1）=0，可求得b的值，①若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，转化为求函数f（x）在[-1，2]上的最大值小于c²即可求得c的取值范围；②对[-1，2]内的任意两个值x₁，x₂，都有|f(x1)-f(x2)|≤

7

2

，转化为求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值的差≤

7

2

即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x3-

1

2

x2+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b，
要使f（x）有极值，则f′（x）=3x²-x+b=0有两不等实根，
从而△=1-12b＞0，解得b＜

1

12

．
（2）∵f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=3-1+b=0，∴b=-2．
①∴f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，∵f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
∴当x∈（-

2

3

，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x∈（-∞，-

2

3

）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴当x=-

2

3

时，f（x）有极大值

22

27

+c，
又f（2）=2+c＞

22

27

+c，f（-1）=

1

2

+c＜

22

27

+c，
∴x∈[-1，2]时，f（x）_max=f（2）=2+c，
∴c²＞2+c
∴c＜-1或c＞2．
②由上可知，当x=1时，f（x）有极小值-

3

2

+c又f（2）=2+c＞-

3

2

+c，f（-1）=

1

2

+c
＞-

3

2

+c，∴x∈[-1，2]时，f（x）_min=-

3

2

+c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=|2+c-（-

3

2

+c）|=

7

2

，
故结论成立．

点评：考查利用导数研究函数的极值，和求闭区间上的最值问题，在（2）的求解过程中，都转化为求函数在闭区间上的最值问题，体现了转化的思想方法．属难题．