Question

已知函数.
（1）若，求证：当时，；
（2）若在区间上单调递增，试求的取值范围；
（3）求证：.

Answer 1

（1） 详见解析；（2） 的取值范围；（3）详见解析．

试题分析：（1） 当时，求证：当时，，将代入，得，注意到，只要证明当时，单调递增，则，由于中含有指数函数，可对求导得，只需证明当时，即可，注意到，只要证明当时，单调递增即可，因此令，对求导得，显然当时，，问题得证；（2） 求实数的取值范围，由于在区间上单调递增，则当时，，故对求导得，即当时，恒成立，即)恒成立，只需求出的最小值即可，令，对求导得，令导数等于零，解出的值，从而的最小值，进而得实数的取值范围；
（3）求证：，由（1） 知：当时，，即，可得，两边取对数得，令，得，再令，得个式子相加，然后利用放缩法可证得结论．
试题解析：（1） ，则h(x)＝，∴h′(x)＝e^x－1＞0(x＞0)，
∴h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上递增，∴f′(x)＞f′(0)＝1＞0，
∴f(x)＝e^x－x²在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＞f(0)＝1.(     4分)
（2） f′(x)＝e^x－2kx，下面求使 (x＞0)恒成立的k的取值范围．
若k≤0，显然f′(x)＞0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
记φ(x)＝e^x－2kx，则φ′(x)＝e^x－2k，
当0＜k＜时，∵e^x＞e⁰＝1， 2k＜1，∴φ′ (x)＞0，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
于是f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当k≥时，φ(x)＝e^x－2kx在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k，＋∞)上单调递增，
于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝e^{ln 2k}－2kln 2k，
由e^{ln 2k}－2kln 2k≥0得2k－2kln 2k≥0，则≤k≤，
综上，k的取值范围为(－∞，]．      9分
另解：（2） ，下面求使(x＞0)恒成立的k的取值范围．
)恒成立。记

在上单调递减，在上单调递增。
  
综上，k的取值范围为(－∞，]．(    9分)
（3）由(1)知，对于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝e^x＞x²＋1，∴e^2x＞2x²＋1，
则ln(2x²＋1)＜2x，从而有ln(＋1)＜ (n∈N^*)，
于是ln(＋1)＋ln(＋1)＋ln(＋1)＋ ＋ln(＋1)＜＋＋ ＋＜＋＋ ＋＝2＋2(1－＋ ＋－)＝4－＜4，故(＋1)(＋1)(＋1) (＋1)＜e⁴.(     14分)
另解：(3)由(1)知，对于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝e^x＞x²＋1，∴e^2x＞2x²＋1，
则ln(2x²＋1)＜2x，从而有ln(＋1)＜ (n∈N^*)，
又


于是ln(＋1)＋ln (＋1)＋ln(＋1)＋ ＋ln(＋1)＜
故(＋1)(＋1)(＋1) (＋1)＜e⁴.    (     14分)