Question

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足，⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线L：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A，B
（1）求椭圆的标准方程．
（2）当，且满足时，求△AOB的面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由=，知OM是△PF₁F₂的中位线，由OM⊥F₁F₂，知PF₁⊥F₁F₂，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由圆O与直线l相切，知，联立，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直线l与椭圆交于两个不同点，得到k²＞0，由此能推导出△AOB的面积S的取值范围．
解答：解：（1）∵=，
∴点M是线段PF₂的中点，
∴OM是△PF₁F₂的中位线，
又∵OM⊥F₁F₂，∴PF₁⊥F₁F₂，
∴，解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴椭圆的标准方程为．
（2）∵圆O与直线l相切，∴，即m²=k²+1，
联立，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，x₁•x₂=，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=
=，
=x₁x₂+y₁y₂=，
∴，
∴，
S=S_△ABO=
=
=
=，
 设u=k⁴+k²，则，S=，u∈[]，
∵S关于u在[，2]单调递增，S（）=，S（2）=，
∴．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．