Question

【题目】如图，点是椭圆的一个顶点， 的长轴是圆的直径. 是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点交椭圆于另一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积取最大值时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．

（1）由已知得到，且，所以椭圆的方程是；

（2）因为直线，且都过点，所以

①当直线的斜率不存在时，易知直线与椭圆相切，不合题意.

②当直线的斜率存在且不为时，设直线，

直线，所以圆心到直线的距离为，所以直线被圆所截的弦；

由，所以，所以

，

（当时，等号成立.）

③当时， .

综上所述，当面积取最大值时直线的方程为.