Question

（2012•杨浦区二模）已知点A（-1，1），若曲线G上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称G为T型曲线．给定下列三条曲线：
①y=-x+3（0≤x≤3）
②y=

2-x2

（-

2

≤x≤0）
③y=-

1

x

（x＞0），
则T型曲线的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：曲线①，点在线外，求出点到直线的距离为

3

2

2

，即BC边上的高为

3

2

2

，进一步分析知所求正三角形的边长为

6

，写出以A为圆心，以

6

为半径的圆，和直线方程联立求解判断；
对于②，把给定的曲线方程变形，得到曲线曲线形状，知点A在曲线上，通过分析极端情况判断；
对于③，根据对称性，判出如果存在B、C，则两点连线的斜率以应为1，设出B、C连线方程，根据正三角形边长与高的关系，列方程求解．

解答：解：对于①，A（-1，1）到直线y=-x+3的距离为

3

2

2

，若直线上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则|AB|=|AC|=，

6

，以A为圆心，以

6

为半径的圆的方程为（x+1）²+（y-1）²=6，联立

y=-x+3 (x+1)2+(y-1)2=6

解得x=

1+ 3

2

，或x=

1- 3

2

，后者小于0，所以对应的点不在曲线上，所以①不是．
对于②，y=

2-x2

(-

2

≤x≤0)化为x2+y2=2(-

2

≤x≤0)，图形是第二象限内的四分之一圆弧，此时连接A点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为135°，所以②不是．
对于③，根据对称性，若y=-

1

x

上存在两点B、C使A、B、C构成正三角形，则两点连线的斜率为1，设B、C所在直线方程为x-y+m=0，由题意知A到直线距离为直线被y=-

1

x

所截弦长的2

3

倍，列方程解得m=-

10

3

，所以曲线③是T型线．
故选B．

点评：本题是新定义问题，解题的关键是读懂题目的意思，并且能够把形的问题转化为代数方法解决，同时需要注意的是每条曲线的范围．