Question

如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的外面种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形的面积为S₂．
（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2）当a固定，θ变化时，求取最小值时的角．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
设正方形的边长为x则 ，
由BP+AP=AB，得 ，
故
所以
（2），
令t=sin2θ，因为 ，所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]
所以 ，
，所以函数g（t）在（0，1]上递减，
因此当t=1时g（t）有最小值 ，
此时
所以当时，“规划合理度”最小，最小值为 ．