Question

如图：长方形所在平面与正所在平面互相垂直，分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点 
的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明过程详见试题解析；（Ⅱ）存在点，且时，使得平面平面.

试题分析：（Ⅰ）连结交于,连结，那么在中，有是的一条中位线.从而.又,所以平面；（Ⅱ）由题意易得平面,要探索是否存在点，使得平面平面，就是要考虑是否存在点，使得成立.
试题解析：（Ⅰ）证明：连结交于,连结.因为是的中点，是的中点.所以是的一条中位线，因此，又,所以平面.
（Ⅱ）存在点，且时，使得平面平面.证明如下：
因为是正三角形，是的中点，所以.
又因为.所以.由,所以平面.
又因为长方形中，要使得，则由与相似得到点是的中点.
所以,又因为,所以平面平面.