题目内容
【题目】如图，在四棱柱
中，底面ABCD和侧面
都是矩形，E是CD的中点，
，
.
（1）求证：
；
（2）若平面与平面
所成的锐二面角的大小为
，求线段
的长度.
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由已知得
，
，所以利用线面平行的判定得
平面
，再利用线面垂直的性质，得
；第二问，可以利用传统几何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面
和平面
的法向量，利用夹角公式列出方程，通过解方程，求出线段
的长度..
（1）证明：∵底面
和侧面
是矩形，
∴，
又∵
∴平面 3分
∵
平面∴ ． 6分
（2）
解法1：延长
，
交于
，连结
，
则平面
平面
底面
是矩形，
是
的中点，
，∴连结
，则
又由（1）可知
又∵
，
∴
底面，∴
∴
平面
9
过
作
于
，连结
，则
是平面与平面即平面
与平面所成锐二面角的平面角，所以
又
，∴
又易得
，
，从而由
，求得． 12分
解法2：由（1）可知
又∵，∴底面 7分
设为
的中点，以
为原点，以
，
，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系如图． 8分
设
，则
，
，
，
，
设平面
的一个法向量
∵
，
由
，得
令
，得
9分
设平面
法向量为
，因为 
，
，
由
得
令
，得
． 10分
由平面
与平面所成的锐二面角的大小为
，
得 
，解得
． 即线段
的长度为
． 12分
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