Question

若多项式（1+x）¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₆x¹⁶，则a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈=（　　）

A．2¹⁸

B．2¹⁷

C．2¹⁶

D．2¹⁵

Answer 1

分析：通过二项式定理求出所求各项的系数，利用C_mⁿ=

m

n

C_m-1^n-1 与C_mⁿ=C_m^m-n化简表达式，求出所求和即可．

解答：解：由（1+x）¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₆x¹⁶，可知，
a₀=C₁₆⁰ a₁=C₁₆¹  a₂=C₁₆²    …a₈=C₁₆⁸ 
故（a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈）=C₁₆¹+2C₁₆²+…+8C₁₆⁸ 
因为C_mⁿ=

m

n

C_m-1^n-1  （m≥n，且同是自然数．）
故C₁₆¹+2C₁₆²+…+8C₁₆⁸=C₁₆¹+2×

16

2

C₁₅¹+3×

16

3

C₁₅²+…+8×

16

8

C₁₅⁷ 
=16（C₁₅⁰+C₁₅¹+C₁₅²+…+C₁₅⁷）
因为，C_mⁿ=C_m^m-n
故C₁₆¹+2C₁₆²+…+8C₁₆⁸ 
=

16

2

（C₁₅⁰+C₁₅¹+C₁₅²+…+C₁₅¹⁵）
=

16

2

×215
=2¹⁸
故a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈=2¹⁸．
故选A．

点评：本题考查二项式定理系数的性质，组合数公式的灵活应用，考查计算能力，转化思想．