Question

已知双曲线

y2

2

-

x2

3

=1的两个焦点分别为F₁、F₂，则满足△PF₁F₂的周长为6+2

5

的动点P的轨迹方程为（　　）

• A．

  x2

  4

  +

  y2

  9

  =1
• B．

  x2

  9

  +

  y2

  4

  =1
• C．

  x2

  4

  +

  y2

  9

  =1(x≠0)
• D．

  x2

  9

  +

  y2

  4

  =1(x≠0)

Answer 1

分析：根据已知双曲线方程，运用公式可得它的两个焦点分别为F₁（0，-

5

）、F₂（0，

5

）．再根据△PF₁F₂的周长为6+2

5

，结合椭圆的定义得到点P的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，因为三角形三顶点不能共线，所以上、下顶点除外．由椭圆的定义求得椭圆的长半轴、短半轴分别为3和2．因此可得椭圆的标准方程，得到正确选项．

解答：解：∵双曲线的方程为

y2

2

-

x2

3

=1，
∴a²=2，b²=3，可得c²=a²+b²=5，c=

5

因此双曲线

y2

2

-

x2

3

=1的两个焦点分别为F₁（0，-

5

）、F₂（0，

5

），
∵△PF₁F₂的周长为6+2

5

，F₁F₂=2

5

∴PF₁+PF₂=6，点P的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，（上下顶点除外）
由椭圆的定义得，椭圆长轴为6，长半轴为3．
所以该椭圆的短半轴为：

32-5

=2
∴点P的轨迹方程为

x2

4

+

y2

9

=1(x≠0)
故选C

点评：本题以一个轨迹问题为例，着重考查了椭圆、双曲线等圆锥曲线的标准方程，以及简单的轨迹方程求法等知识点，属于中档题．