题目内容
已知以T=4为周期的函数f(x)=
，其中m＞0．若方程4f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ）
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分析：根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=
与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．
| x |
| 4 |
解答：
解：：∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x2+
=1（y≥0），此时，函数的图象实质上为一个半椭圆，其图象如图所示：
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]时的函数图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象．
由图易知直线 y=
与第二个半椭圆（x-4）2+
=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x-8）2+
=1 （y≥0）
无公共点时，方程恰有5个实数解，
将 y=
代入（x-4）2+
=1 （y≥0）得，（16m2+1）x2-128m2x+240m2=0，令t=16m2（t＞0），
则（t+1）x2-8tx+15t=0，由△=（8t）2-4×15t（1+t）＞0，得 t＞15．
由 16m2 ＞15，且m＞0得 m＞
．
再将 y=
代入（x-8）2+
=1 化简，再由判别式△′＜0可得m＜
．
综上可得
＜m＜
，
故选C．
解：：∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x2+| y2 |
| m2 |
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]时的函数图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象．
由图易知直线 y=
| x |
| 4 |
| y2 |
| m2 |
| y2 |
| m2 |
无公共点时，方程恰有5个实数解，
将 y=
| x |
| 4 |
| y2 |
| m2 |
则（t+1）x2-8tx+15t=0，由△=（8t）2-4×15t（1+t）＞0，得 t＞15．
由 16m2 ＞15，且m＞0得 m＞
| ||
| 4 |
再将 y=
| x |
| 4 |
| y2 |
| m2 |
| ||
| 4 |
综上可得
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
故选C．
点评：本题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析，是解答本题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
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已知以T=4为周期的函数f(x)=
，其中m＞0，若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ）
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A、（
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B、（
| ||||||
C、（
| ||||||
D、（
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，其中m＞0，若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ）
，
）
，
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，
）
，
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