题目内容
【题目】已知函数
，
，函数
在点
处的切线与函数
相切.
（1）求函数
的值域；
（2）求证：
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用导数求出曲线
在点
处的切线方程，与函数
的解析式联立，由
可求得
的值，然后利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）要证明
，即证
，即证
，求出函数
的最小值，并利用导数求出函数
的最大值，由此可得出结论.
（1）切点
，
，则
，
.
所以，函数在点处的切线方程为
，即
.
函数在点处的切线与函数相切.
联立
，化为
，
，
，解得
.
，所以，函数的值域为
；
（2）要证，即证，即证.
设，，则函数
的定义域为
.
，
.
当
时，
，此时，函数单调递增；
当
时，
，此时，函数单调递减.
所以，函数的最大值为
.
所以，
，但是函数
的最小值和函数的最大值不在同一处取得，
因此，.
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