Question

已知f（x）=sinxcosx+cos²x-

1

2

．
（1）求f（x）的对称轴方程；
（2）将函数f（x）的图象按向量a平移后得到函数g（x）的图象，若y=g（x）的图象关于点(

π

2

，0)对称，求|a|的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，利用正弦函数的对称轴方程，直接求f（x）的对称轴方程；
（2）设出向量

a

，求出平移后得到函数g（x）的解析式，利用y=g（x）的图象关于点(

π

2

，0)对称，求出关于向量

a

中字母的表达式，然后求出|a|的最小值．

解答：解：（1）f(x)=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

1

2

(sin2x+cos2x)
=

2

2

sin(2x+

π

4

)（3分）
由2x+

π

4

=kπ+

π

2

得x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z
∴f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z．（7分）
（2）由题意可设

a

=（m，0）则g(x)=

2

2

sin(2x-2m+

π

4

)（9分）
又因为g（x）的图象关于点(

π

2

，0)对称，则有

2

2

sin(π+

π

4

-2m)=0，（11分）
即

5π

4

-2m=kπ，
∴m=

5π

8

-

kπ

2

，k∈Z．
∴|a|=|

5π

8

-

kπ

2

|，k∈Z
所以当k=1时，∴|a|min=

π

8

．（14分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，两角和的正弦函数的应用，函数图象的变换，基本函数的基本性质是解题的关键，考查计算能力．