Question

已知函数
(I)当时，讨论函数的单调性：
(Ⅱ)若函数的图像上存在不同两点，，设线段的中点为，使得在点处的切线与直线平行或重合，则说函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”.
试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由.

Answer 1

(I) 当时,函数的递增区间是,递减区间是
当时，函数的递增区间是和，递减区间是
(Ⅱ) 函数不是“中值平衡函数”

试题分析：（1）
当即时，，函数在定义域上是增函数；
当即时,由得到或，
所以：当时，函数的递增区间是和，递减区间是；
当即时，由得到：，
所以:当时,函数的递增区间是,递减区间是；       
（2）若函数是“中值平衡函数”，则存在（）使得
即，
即，（*）
当时，（*）对任意的都成立，所以函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；
当时，设，则方程在区间上有解，
记函数，则，
所以当时，，即方程在区间上无解，
即函数不是“中值平衡函数”.
点评：此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．