Question

若x、y∈R⁺，且x≠y，则“

x y

，

2 x y

x+y

，

x+y

2

”的大小关系是…（　　）

A．  x y  ＜ 2 x y  x+y  ＜  x+y  2

B． 2 x y  x+y  ＜  x y  ＜  x+y  2

C．  x y  ＜  x+y  2 ＜ 2 x y  x+y

D．  x+y  2 ＜ 2 x y  x+y  ＜  x y

Answer 1

由题意知
  利用分析法证明如下：
  证明：①要证不等式x、y∈R⁺，

2 x y

x+y

≤

x y

成立，
          只需证(

2 x y

x+y

)2≤ (

x y

)2成立即可
         化简得：（x+y）²≥4xy
             即：（x-y）²≥0恒成立
          又∵x≠y
∴

2 x y

x+y

＜

x y

成立
       ②要证不等式x、y∈R⁺，

x y

≤

x+y

2

成立，两边平方  
         得：（x+y）²≥4xy
          即不等式（x-y）²≥0恒成立       
          又∵x≠y
∴

xy

＜

x+y

2

成立
    综上所述：由①②知不等式

2 x y

x+y

＜

x y

＜

x+y

2

成立．
   故选B