Question

16．已知关于x的不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）
（1）若不等式的解集为{x|x＜-3或x＞-2}，求k的值；
（2）若不等式的解集为{x|x≠$\frac{1}{k}$}，求k的值；
（3）若不等式的解集为空集，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据不等式kx²-2x+6k＜0的解集，利用根与系数的关系，求出k的值；
（2）根据不等式的解集，利用判别式求出k的值；
（3）根据不等式的解集为空集，满足$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，求出k的取值范围即可．

解答 解：（1）关于x的不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0），
当不等式的解集为{x|x＜-3或x＞-2}时，
对应方程kx²-2x+6k=0（k≠0）的实数根为-3和-2，
由根与系数的关系，得；
-3-2=$\frac{2}{k}$，解得k=-$\frac{2}{5}$；
（2）当不等式的解集为{x|x≠$\frac{1}{k}$}时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{△=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{4-2{4k}^{2}=0}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（3）当不等式的解集为空集时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{4-2{4k}^{2}≤0}\end{array}\right.$，
解得k≥$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴k的取值范围是k≥$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了二次函数与一元二次方程的应用问题，是基础题目．