Question

设α、β均是锐角，试寻找成立的充要条件，并化简

（1+tan1°）(1+tan2°)…(1+tan44°)(1+tan45°)．

 

Answer 1

答案：
解析：

先设(1+tanα)(1+tanβ)=2成立．展开左边整理得     tanα+tanβ=1－tanαtanβ．     ∵α、β均是锐角，tanα+tanβ>0，     ∴1－tanαtanβ≠0，从而tan(α+β)==1，     ∵0<α+β<π，∴α+β=，     反之，当α+β=时，把以上证明逆推，则得出：(1+tanα)(1+tanβ)=2．     故当α、β为锐角时，上式成立的充要条件为α+β=．利用这一结果得(1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan44°)(1+tan45°)=223．