Question

已知函数f（x）=πsin

x

2

，如果存在实数x₁，x₂，使得对任意的实数x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₁-x₂|的最小值是

2π

．

Answer 1

分析：由题意，可得f（x₁）、f（x₂）分别为函数的最小值与最大值．再根据三角函数的图象与性质，|x₁-x₂|的最小值等于半个周期，由三角函数的周期公式加以计算，即可得到|x₁-x₂|的最小值．

解答：解：∵f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴x₁、x₂是函数f（x）对应的最大、最小值的x，
故|x₁-x₂|一定是 

T

2

的整数倍，
∵函数f（x）=πsin 

x

2

的最小正周期T=

2π

1 2

=4π，
∴|x₁-x₂|=n×

T

2

=2nπ（n＞0，且n∈Z），
则|x₁-x₂|的最小值为2π．
故答案为：2π

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的最值，是一道基础知识的简单应用题．高考对三角函数的考查以基础题为主，要强化基础知识的夯实．