Question

已知函数，.
(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围. 注：是自然对数的底数.

Answer 1

(Ⅰ)最小值，最大值；(Ⅱ) .

试题分析：(Ⅰ)将代入，得到.由于要去绝对值，所以将区间分为与两段，分别得到解析式，从而得到导函数在上大于0，在上小于0.即函数在区间上单调递减，在上单调递增.在根据单调性即可求出最值；(Ⅱ) 函数的定义域为,得,再分与两种情况讨论.其中时，为去绝对值，再分与两种情况予以讨论.再综合各种情况得到满足条件的的取值范围是.
试题解析：(Ⅰ) 若，则.
当时，，
，
所以函数在上单调递增；
当时，，
.
所以函数在区间上单调递减，
所以在区间上有最小值，又因为，
，而，
所以在区间上有最大值             .5分
(Ⅱ) 函数的定义域为．
由，得．           （*）
（ⅰ）当时，，，
不等式（*）恒成立，所以；               .7分
（ⅱ）当时，
①当时，由得，即，
现令， 则，
因为，所以，故在上单调递增，
从而的最小值为，因为恒成立等价于，
所以；                   .11
②当时，的最小值为，而，显然不满足题意   .13分
综上可得，满足条件的的取值范围是.              14分