题目内容
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．（1）将函数y=f（x）图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ（x）的图象，试写出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）由函数图象的变换可得 φ（x）=a2 （x-1）2 ，值域为[0，+∞）．
（2）由题意可得（1-a2） x2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a2＜0，再由（1-a2） x2-2x+1＞0，求得实数a的
取值范围．
（3）设F（x）=f（x）-g（x）=
x2-elnx，利用导数知识判断单调性，求出 x=
时，F（x） 取得最小值0．
设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为 y=kx+
-k
，由 f（x）≥kx+
-k
，对x∈R恒成立，求得k=
．
再利用导数证明g（x）≤
-
（x＞0）恒成立，从而得到所求“分界线”方程．
解答：解：（1）由题意可得 φ（x）=a2 （x-1）2 ，值域为[0，+∞）． …（2分）
（2）不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，
等价于（1-a2） x2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a2＜0，即 a＞1，
∴（1-a2） x2-2x+1=[（（1-a）x-1][（1+a）x-1]＞0，
所以
，又因为 
，
所以
，解之得 
． …（6分）
（3）设F（x）=f（x）-g（x）=
x2-elnx，则 F′（x）=x-
=
．
所以当 0＜x＜
时，F′（x）＜0；当 x＞
时，F′（x）＞0．
因此 x=
时，F（x） 取得最小值0，
则 f（x）与g（x）的图象在x=
处有公共点 （
，
）． …（8分）
设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为 y-
=k（x-
），即 y=kx+
-k
，
由 f（x）≥kx+
-k
，对x∈R恒成立，
则 x2-2kx-e+2k
≥0 在x∈R恒成立．
所以△=4k2-4（2k
-e）=4
≤0成立，因此 k=
．…（10分）
下面证明 g（x）≤
-
（x＞0）恒成立．
设G（x）=elnx-x
+
，则 G′（x）=
=
．
所以当 0＜x＜
时，G′（x）＞0；当 x＞
时，G′（x）＜0．
因此 x=
时，G（x）取得最大值0，则 g（x）≤
-
（x＞0）成立．
故所求“分界线”方程为：y=
-
． …（14分）
点评：本题主要考查平移，值域，解整式和分式不等式，切线方程的求法，导数知识判断单调性及其应用，存在性，以及探索、等价转化和推理证明能力，解决综合问题的能力．
（2）由题意可得（1-a2） x2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a2＜0，再由（1-a2） x2-2x+1＞0，求得实数a的
取值范围．
（3）设F（x）=f（x）-g（x）=
x2-elnx，利用导数知识判断单调性，求出 x=
时，F（x） 取得最小值0．设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为 y=kx+
-k
，由 f（x）≥kx+
-k
，对x∈R恒成立，求得k=
．再利用导数证明g（x）≤
-
（x＞0）恒成立，从而得到所求“分界线”方程．解答：解：（1）由题意可得 φ（x）=a2 （x-1）2 ，值域为[0，+∞）． …（2分）
（2）不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，
等价于（1-a2） x2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a2＜0，即 a＞1，
∴（1-a2） x2-2x+1=[（（1-a）x-1][（1+a）x-1]＞0，
所以
，又因为 
，所以
，解之得 
． …（6分）（3）设F（x）=f（x）-g（x）=
x2-elnx，则 F′（x）=x-
=
．所以当 0＜x＜
时，F′（x）＜0；当 x＞
时，F′（x）＞0．因此 x=
时，F（x） 取得最小值0，则 f（x）与g（x）的图象在x=
处有公共点 （
，
）． …（8分）设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为 y-
=k（x-
），即 y=kx+
-k
，由 f（x）≥kx+
-k
，对x∈R恒成立，则 x2-2kx-e+2k
≥0 在x∈R恒成立．所以△=4k2-4（2k
-e）=4
≤0成立，因此 k=
．…（10分）下面证明 g（x）≤
-
（x＞0）恒成立．设G（x）=elnx-x
+
，则 G′（x）=
=
．所以当 0＜x＜
时，G′（x）＞0；当 x＞
时，G′（x）＜0．因此 x=
时，G（x）取得最大值0，则 g（x）≤
-
（x＞0）成立．故所求“分界线”方程为：y=
-
． …（14分）点评：本题主要考查平移，值域，解整式和分式不等式，切线方程的求法，导数知识判断单调性及其应用，存在性，以及探索、等价转化和推理证明能力，解决综合问题的能力．
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