Question

14．已知M是椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的点，F₁，F₂为椭圆的焦点，且∠F₁MF₂=$\frac{π}{2}$，求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

分析 由椭圆的定义可得，|MF₁|+|MF₂|=2a=2$\sqrt{5}$，结合MF₁⊥MF₂，利用勾股定理可得，|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²=4，配方再由三角形的面积S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|，从而可求答案．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
由椭圆的定义可得，|MF₁|+|MF₂|=2a=2$\sqrt{5}$，
∵∠F₁MF₂=$\frac{π}{2}$，
∴MF₁⊥MF₂，
在Rt△MF₁F₂中，由勾股定理可得，
|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²=4，
即（|MF₁|+|MF₂|）²-2|MF₁|•|MF₂|=4，
∴|MF₁|•|MF₂|=8，
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|=$\frac{1}{2}$×8=4．

点评 本题主要考查了椭圆的定义的简单应用，解题的关键是对已知平方式的变形（|MF₁|+|MF₂|）²-2|MF₁|•|MF₂|=4，求得|MF₁|•|MF₂|=8，利用整体思想求解三角形的面积．