Question

如果函数f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：先化简f（x）的表达式，令t=a^x．则f（t）=t²-（3a²+1）t（t＞0）．下面对参数a分类讨论，利用复合函数的单调性的方法求解即可．
解答：解：由题意得f（x）=（a^x）²-（3a²+1）a^x，
令t=a^x．f（t）=t²-（3a²+1）t（t＞0）．
当a＞1时，t=a^x在[0，+∞）上为增函数，则此时t≥1，
而对于f（t）而言，对称轴t=＞2，
故f（x）在[0，+∞）上不可能为增函数；
当0＜a＜1时，t=a^x在[0，+∞）上为减函数，
此时0＜t＜1，要使f（x）在[0，+∞）上为增函数，
则f（t）在（0，1]上必为减函数，故≥1．
∴a≥或a≤，
∴．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．