Question

【题目】已知函数.

（1）作出函数的图像；

（2）根据（1）所得图像，填写下面的表格：

性质	定义域	值域	单调性	奇偶性	零点

（3）关于的方程恰有6个不同的实数解，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）定义域，值域，在和上单调递增，在和上单调递减，偶函数，无零点；（3）.

【解析】

（1）利用分类讨论求出分段函数后可得其图象.

（2）根据（1）的图象可得的单调区间、值域、奇偶性和零点情况.

（3）令，则有两个不同的解和，且，，根据根的分布可求的取值范围.

（1）.

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

故的图象如图所示：

（2）由（1）得函数的定义域为.

函数的单调增区间为和，单调减区间为和.

为偶函数，其值域为.

无零点.

填表如下：

性质	定义域	值域	单调性	奇偶性	零点
			增区间为和 减区间为和	偶函数	无

（3）令，

则且方程有2个不同的实根或4个不同的实根或无解，

因为方程恰有6个不同的实数解，

所以有两个不同的解和，

且有两个不同的解，有4个不同的解.

结合（1）中的图象可知，，，

由韦达定理可知

故，所以.