Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，在曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））处的切线与直线y=3x+2平行．
（1）若函数y=f（x）在x=-2时取得极值，求a，b的值；
（2）若函数y=f（x）在区间（-2，1）上单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=2取得极值和x=1的切线斜率为3，列出方程组即可求出a、b的值；
（2）由于函数y=f（x）在区间（-2，1）上单调递增，则f′（x）＞0在区间（-2，1）上恒成立，亦即b＞-

3x2

1-x

在（-2，1）恒成立，只需使b＞(-

3x2

1-x

)最大值即可．

解答：解：（1）函数f（x）的导函数是f′（x）=3x²+2ax+b
由题意可知：

f′(-2)=0 f′(1)=3

即

12-4a+b=0  3+2a+b=3

，
解得：a=2，b=-4．
（2）由于f′（x）=3x²+2ax+b，且2a+b=0
则f′（x）=3x²-bx+b
由于函数y=f（x）在区间（-2，1）上单调递增，
则f′（x）=3x²-bx+b＞0在区间（-2，1）上恒成立，
即b＞-

3x2

1-x

在（-2，1）恒成立
由于-2＜x＜1，则1-x＞0
又由-

3x2

1-x

=-

3(1-x)2-6(1-x)+3

1-x

=-[3(1-x)+

3

1-x

-6]≤-（6-6）=0 
故b的取值范围为b＞0

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，体现了解方程的思想方法，