题目内容

设椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，短轴一个端点到右焦点的距离为2．
（1）求椭圆的方程．
（2）若P是该椭圆上的一个动点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，求 $数学公式$ 的最大值和最小值．

解：（1）设所求的椭圆方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0），
由离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
则 $\text{[math]}$ 解得a=2，b=1，c= $\text{[math]}$
故所求椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，
（2）由（1）知F₁（- $\text{[math]}$ ，0），设P（x，y），
则 $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ -x，-y）•（ $\text{[math]}$ -x，-y）=x²+y²-3= $\text{[math]}$ （3x²-8）
∵x∈[-2，2]，∴0≤x²≤4，
故 $\text{[math]}$ ∈[-2，1]
故最大值1，最小值-2．
分析：（1）先设出椭圆的标准方程，进而根据焦点坐标确定c，根据焦点于长轴上较近的端点距离确定a，进而根据a，b和c的关系确定b，椭圆方程可得．
（2）设出点P的坐标，进而可表示出 $\text{[math]}$ ，进而根据x的范围确定 $\text{[math]}$ 的范围
点评：本题主要考查了椭圆的应用．解答的关键是利用待定系数法求椭圆方程及平面向量的基本计算．

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=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为

．
（I）证明：

；
（II）设Q₁，Q₂为椭圆上的两个动点，OQ₁⊥OQ₂，过原点O作直线Q₁Q₂的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

设椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；
（II）设 $数学公式$ =λ₁ $数学公式$ ， $数学公式$ =λ₂ $数学公式$ ，当A在椭圆上运动时，求证：λ₁+λ₂为定值．

=1（a＞b＞0）过点

，且左焦点为

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足

，证明：点Q总在某定直线上．

=1（a＞b＞0）过点

，且左焦点为

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足

，证明：点Q总在某定直线上．

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆

=1（a＞b＞0）的焦距为2c．以点O为圆心，a为半径作圆M．若过点P（

，0）所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为______