Question

已知a∈R，a≠1，函数f(x)=

ax+1

x+1

（1）判断函数在区间（-1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求函数在[1，4]上的最值．

Answer 1

分析：（1）任取-1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

ax1+1

x1+1

-

ax2+1

x2+1

=

(ax1+1)(x2+1)-(ax2+1)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

(a-1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，由此式展开讨论，可得结果；
（2）利用（1）的结论，结合最值的定义，易得答案．

解答：解：（1）当a＞1时，a-1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，函数f（x）为增函数；
当a＜1时，a-1＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0，函数f（x）为减函数．
下面证明：
任取-1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

ax1+1

x1+1

-

ax2+1

x2+1

=

(ax1+1)(x2+1)-(ax2+1)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

(a-1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0
故当a＞1时，a-1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，函数f（x）为增函数；
当a＜1时，a-1＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0，函数f（x）为减函数．
（2）由（1）可知：当a＞1时，函数f（x）为增函数；当a＜1时，函数f（x）为减函数．
故当a＞1时，函数f（x）在[1，4]上的最小值为f（1）=

a+1

2

，最大值为f（4）=

4a+1

5

；
当a＜1时，函数f（x）在[1，4]上的最大值为f（1）=

a+1

2

，最小值为f（4）=

4a+1

5

．

点评：本题为函数的简单应用：（1）为定义法证明函数的单调性，（2）为利用（1）的结论来求最值，两步均需注意分类讨论．