Question

已知函数f（x）=，数列{a_n}满足对于一切n∈N^*有a_n＞1，且a_n+1=f（a_n）．数列{b_n}满足，（a＞0且a≠1）设．
（Ⅰ）求证：数列为等比数列，并指出公比；
（Ⅱ）若k+l=5，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若k+l=M（M为常数），求数列从第几项起，后面的项都满足．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要证数列为等比数列，只要证明为常数即可证，该常数即为公比
（Ⅱ）由结合（I）可得=-=log_a3，由等差数列的性质可得，，从而可求a，结合等差数列的通项且有k+l=5
（Ⅲ）由k+l=M可求，=3M-2，由等差数列的通项可求b_n，假设第m项后有足．即第m项后b_n＜0，于是原命题等价于，代入解不等式可求M
解答：证明：（Ⅰ）∵f（x）=，a_n+1=f（a_n）
∴
∴===
∴==
故数列{ln}为等比数列，公比为3
解：（Ⅱ）∵
∴
=-=log_a3
所以数列是以为首项，公差为 log_a3的等差数列．
又
∴a==
又=1+3l，且k+l=5
∴
∴
（Ⅲ）∵k+l=M
∴
假设第m项后满足=a．
∵
即第m项后，于是原命题等价于
…（15分）
∵M∈N^*⇒M=M故数列{a_n}从M+1项起满足．．       …（16分）
点评：本题考查了等差和等比数列的综合，以及数列与不等式相结合等等知识点，属于难题．解题时请注意对数式的处理，和利用数列综合解决问题中要求数列的技巧运用．