Question

如图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面α,AB∥α,M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段.

(1)求证：MN∥α；

(2)若AB=CD=a,AC=b,BD=c，求线段MN的长.

Answer 1

(1)证明:过B作BB′⊥α,垂足为B′，连结CB′、DB′，设E为B′D的中点，

    连结NE、CE，则NE∥BB′且NE=BB′，又AC=BB′，

    ∴MCNE,

    即四边形MCEN为平行四边形(矩形).

    ∴MN∥CE.

    又CEα,MNα,

    ∴MN∥α.

(2)解：由(1)知MN=CE，AB=CB′=a=CD，B′D==，

    ∴CE==，

    即线段MN的长为.