Question

如图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD?平面α，AB∥α，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段．
（1）求证：MN∥α；
（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长．

Answer 1

分析：（1）构造出线面平行的判定定理成立的条件--即在面内找到一条线与其平行即可．
（2）构造直角三角形，利用勾股定理在直角三角形中求线段MN的长．

解答：（1）证明：过B作BB′⊥α，垂足为B′，连接CB′、DB′，设E为B′D的中点，
连接NE、CE，则NE∥BB′且NE=

1

2

BB′，又AC=BB′，
∴MC

∥

.

NE，即四边形MCEN为平行四边形（矩形）．
∴MN∥CE．又CE?α，MN?α，∴MN∥α．
（2）解：由（1）知MN=CE，AB=CB′=a=CD，B′D=

BD2-BB′2

=

c2-b2

，
∴CE=

a2- 1 4 (c2-b2)

=

a2+ 1 4 b2- 1 4 c2

，
即线段MN的长为

a2+ 1 4 b2- 1 4 c2

．

点评：考查空间想象能力以及根据图形构造条件的能力．