题目内容

已知f（x）=（ $数学公式$ + $数学公式$ ）²（x≥0），又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，这个数列的前n项和的公式S_n（n∈N^）对所有大于1的自然数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n= $数学公式$ （n∈N^），求证 $数学公式$ （b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

解：（1）∵f（x）=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²，
∴S_n=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²．
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +（n-1） $\text{[math]}$ =n $\text{[math]}$ ，
即S_n=2n²（n∈N^*）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2；
当n=1时，a₁=2，适合a_n=4n-2．
因此，a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）∵b_n= $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴b₁+b₂+b₃++b_n-n=1- $\text{[math]}$ ．
从而 $\text{[math]}$ （b₁+b₂++b_n-n）= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）=1．
分析：（1）由于已知条件给出的是S_n与S_n-1的函数关系，而要求的是a_n的通项公式，故关键是确定S_n．知道S_n后，能够导出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n= $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，知b₁+b₂+b₃++b_n-n=1- $\text{[math]}$ ．从而能够导出 $\text{[math]}$ （b₁+b₂+…+b_n-n）=1．
点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意数列的性质的灵活运用．