Question

已知函数f（x）=x3-

3

2

ax2+b（a，b为实数，且a＞1）在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导判断其单调性后可知f（-1）=-

3

2

a，f（1）=2-

3

2

a，再根据函数在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2可得答案．
（2）先写出函数g（x）的解析式，然后求导数，令导函数在区间[-2，2]小于等于0恒成立即可得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-3ax，
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=a，
∵a＞1，
∴f（x）在[-1，0]上为增函数，在[0，1]上为减函数．
∴f（0）=b=1，
∵f（-1）=-

3

2

a，f（1）=2-

3

2

a，
∴f（-1）＜f（1），
∴f（-1）=-

3

2

a=-2，a=

4

3

．
∴f（x）=x³-2x²+1．
（2）g（x）=x³-2x²-mx+1，g′（x）=3x²-4x-m．
由g（x）在[-2，2]上为减函数，知g′（x）≤0在x∈[-2，2]上恒成立．
∴

g′(-2)≤0 g′(2)≤0

，即

20-m≤0 4-m≤0

∴m≥20．
∴实数m的取值范围是m≥20．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．