Question

已知数列{x_n},{y_n}满足x₁=x₂=1,y₁=y₂=2，并且（λ为非零参数，n=2,3,4, …）.

（1）若x₁,x₃,x₅成等比数列，求参数λ的值；

（2）当λ＞0时，证明(n∈N^*）；

当λ＞1时，证明(n∈N^*).

Answer 1

思路分析：本题以数列的递推关系为载体，结合等比数列的等比中项及前n项和的公式，运用不等式的性质及证明等基础知识进行运算和推理论证.

（1）解：由已知x₁=x₂=1，且

x₃=λ,x₄=λ³,x₅=λ⁶,

若x₁、x₃、x₅成等比数列，则x₃²=x₁x₅，即λ²=λ⁶.而λ≠0，解得λ=±1.

（2）证明：(Ⅰ)由已知λ＞0,x₁=x₂=1及y₁=y₂=2，可得x_n＞0,y_n＞0.由不等式的性质，有=λ^n-1;

另一方面，=λ^n-1.

因此，(n∈N^*).故(n∈N^*).

（Ⅱ）当λ＞1时，由（Ⅰ）可知,y_n＞x_n≥1(n∈N^*).

又由（Ⅰ）(n∈N^*),则,

从而(n∈N^*).因此

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