题目内容

已知数列{xn}满足x2=
x1
2
，xn=
1
2
（xn-1+xn-2），n=3，4，…．若
lim
n→∞
xn=2，则x1=（　　）
A、
3
2
B、3
C、4
D、5
分析：要求极限，先求通项，而条件只是一个递推关系且复杂，故宜采用归纳法猜测通项．并注意无穷递缩等比数列的极限
解答：解：∵x2=
1
2
x1，且xn=
1
2
(xn-1+xn-2)令n=3，
得x3=
1
2
(x2+x1)=
3
4
x1，令n=4，
得x4=
1
2
(x2+x3)  =
5
8
x1，
∴x2-x1=-
1
2
x1，x3-x2=
1
4
x1，x4-x3=-
1
8
x1，…，xn- xn-1 =(-
1
2
)n-1，
于是xn=x1+（x2-x1）+…+（xn-xn-1）=x1+
-
1
2
x1[1-(-
1
2
)n-2]
1+
1
2
 

∴
lim
n→∞
xn=x1-
1
3
x1=2，x1=3．故选B
点评：求出前几项后，从什么角度求通项呢，一般是看差和商，采用叠加或累乘法．
练习册系列答案
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10、已知数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1（n≥2），x1=a，x2=b，Sn=x1+x2+…+xn，则下面正确的是（　　）
已知数列{xn}满足x2=
1
2
x1，xn=
1
2
（xn-1+xn-2）（n=3，4，5，…），若
lim
n→∞
xn=2，则x1=
 
．
数列{an}中，如果存在非零常数T，使得an+T=an对于任意的非零自然数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2），如果x1=1，x2=a（a∈R，a≠0），当数列{xn}的周期为3时，求该数列前2009项和是
1339+a
1339+a
．
已知数列{xn}满足：x1=1且xn+1=
xn+4
xn+1
，n∈N*．
（1）计算x2，x3，x4的值；
（2）试比较xn与2的大小关系；
（3）设an=|xn-2|，Sn为数列{an}前n项和，求证：当n≥2时，Sn≤2-
2
2n
．
已知数列{xn}满足：x1∈(0，1)，xn+1=
xn(
x
2
n
+3)
3
x
2
n
+1
(n∈N*）．
（1）证明：对任意的n∈N*，恒有xn∈（0，1）；
（2）对于n∈N*，判断xn与xn+1的大小关系，并证明你的结论．

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