已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E.F分别为BB1.CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为　　　　.

【答案】

【解析】如图所示,连接DF,则AE∥DF,

∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角.

设正方体棱长为a,

则D1D=a,DF=a,D1F=a,

∴cos∠D1FD==.

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如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E是正方形BCC₁B₁的中心，点F，G分别是棱C₁D₁，AA₁的中点．设点E₁，G₁分别是点E，G在平面DCC₁D₁内的正投影．
（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC₁D₁内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线FG₁⊥平面FEE₁；
（3）求异面直线E₁G₁与EA所成角的正弦值．

已知正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD的内切球的体积为

，则这个正方体的边长为

，这个正方体的外接球的表面积为

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁与A₁D相交于点O．
（1）求证：CD⊥平面AA₁D₁D
（2）判断直线AD₁与平面A₁B₁CD的位置关系，并证明；
（3）求直线AB₁与平面A₁B₁CD所成的角的大小．

（2010•合肥模拟）已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F、G分别是AB、BC、B₁C₁的中点．下列说法正确的是

（写出所有正确命题的编号）．
①P在直线EF上运动时，GP始终与平面AA₁C₁C平行；
②点Q在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁QC的体积不变；
③点M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则点M的轨迹是一条的直线；
④以正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA₁异面的有10条．

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，求证：A₁C⊥面AB₁D₁．