Question

（08年惠州一中四模理） 如图，将圆分成个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为。求

（Ⅰ）；

（Ⅱ）与的关系式；

（Ⅲ）数列的通项公式，并证明。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ） 当时，不同的染色方法种数 ，

当时，不同的染色方法种数 ，

当时，不同的染色方法种数 ，

当时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形

∴不同的染色方法种数 。

（Ⅱ）依次对扇形区域染色，不同的染色方法种数为，其中扇形区域1与不同色的有种，扇形区域1与同色的有种

∴

（Ⅲ）∵

∴

………………

将上述个等式两边分别乘以，再相加，得

，

∴，

从而。

（Ⅲ）证明：当时，

当时， ，

当时，

 ，

故