题目内容
一走廊拐角下的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧BC相切于B、C两点，EF∥AB，GH∥CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m．（1）若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P．设∠CMN=θ（rad），试用θ表示木棒MN和长度f（θ）．
（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．
【答案】分析：（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W．在Rt△NWS中用NW和∠SNW表示出NS，在Rt△QPS中用PQ和∠PQS表示出QS，然后分别看S在线段TG上和在线段GT的延长线上分别表示出TS=QT-QS，然后在Rt△STM中表示出MS，利用MN=NS+MS求得MN的表达式和f（θ）的表达式．
（2）设出sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ可用t表示出，然后可得f（θ）关于t的表达式，对函数进行求导，根据t的范围判断出导函数小于0推断出函数为减函数．进而根据t的范围求得函数的最小值．
解答：
解：（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W．
在Rt△NWS中，因为NW=2，∠SNW=θ，
所以
．
因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥MN，
在Rt△QPS，因为PQ=1，∠PQS=θ，
所以
，
，
①若M在线段TD上，即S在线段TG上，则TS=QT-QS，
在Rt△STM中，
，
因此MN=NS+MS=
．
②若M在线段CT上，即若S在线段GT的延长线上，则TS=QS-QT，
在Rt△STM中，
，
因此MN=NS-MS=
=
．
f（θ）=MN=
=
=
．
（2）设
，则
，
因此
．因为
，又
，所以g′（t）＜0恒成立，
因此函数
在
是减函数，所以
，
即
．
答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为
．
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，基本的运算能力．
（2）设出sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ可用t表示出，然后可得f（θ）关于t的表达式，对函数进行求导，根据t的范围判断出导函数小于0推断出函数为减函数．进而根据t的范围求得函数的最小值．
解答：
解：（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W．在Rt△NWS中，因为NW=2，∠SNW=θ，
所以
．因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥MN，
在Rt△QPS，因为PQ=1，∠PQS=θ，
所以
，
，①若M在线段TD上，即S在线段TG上，则TS=QT-QS，
在Rt△STM中，
，因此MN=NS+MS=
．②若M在线段CT上，即若S在线段GT的延长线上，则TS=QS-QT，
在Rt△STM中，
，因此MN=NS-MS=
=
．f（θ）=MN=
=
=
．（2）设
，则
，因此
．因为
，又
，所以g′（t）＜0恒成立，因此函数
在
是减函数，所以
，即
．答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为
．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，基本的运算能力．
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，试用
表示木棒MN和长度
。
