题目内容

A地产汽油，B地需要汽油．运输工具沿直线AB从A地到B地运油，往返A，B一趟所需的油耗等于从A地运出总油量的
1
100
．如果在线段AB之间的某地C（不与A，B重合）建一油库，则可选择C作为中转站，即可由这种运输工具先将油从A地运到C地，然后再由同样的运输工具将油从C地运到B地．设
AC
AB
=x，往返A，C一趟所需的油耗等于从A地运出总油量的
x
100
．往返C，B一趟所需的油耗等于从C地运出总油量的
1-x
100
．不计装卸中的损耗，定义：运油率P=
B地收到的汽油量
A地运出的汽油量
，设从A地直接运油到B地的运油率为P1，从A地经过C中转再运油到B地的运油率为P2．
（1）比较P1，P2的大小；
（2）当C地选在何处时，运油率P2最大？
分析：（1）设从A地运出的油量为a，根据题设，直接运油到B地，往返油耗等于
1
100
a，所以B地收到的油量为（1-
1
100
）a．根据
运油率P=
B地收到的汽油量
A地运出的汽油量
，可计算P1；而从A地运出的油量为a时，C地收到的油量为（1-
x
100
）a，
B地收到的油量（1-
1-x
100
）（1-
x
100
）a，根据运油率P=
B地收到的汽油量
A地运出的汽油量
，可计算P2．然后两者作差比较．
（2）由P2=（
99
100
+
x
100
）（1-
x
100
）利用基本不等式求其最大值．
解答：解：（1）设从A地运出的油量为a，根据题设，直接运油到B地，往返油耗等于
1
100
a，
所以B地收到的油量为（1-
1
100
）a．
所以运油率P1=
a-
1
100
a
a
=
99
100
．
而从A地运出的油量为a时，C地收到的油量为（1-
x
100
）a，
B地收到的油量（1-
1-x
100
）（1-
x
100
）a，
所以运油率P2=（1-
1-x
100
）（1-
x
100
）=（
99
100
+
x
100
）（1-
x
100
）．
所以P2-P1=
1
10000
x（1-x），因为0＜x＜1，
所以P2-P1＞0，即P2＞P1．
（2）因为P2=（
99
100
+
x
100
）（1-
x
100
）≤(
99
100
+
x
100
+1-
x
100
2
)2=(
199
200
)2
当且仅当
99
100
+
x
100
=1-
x
100
，即x=
1
2
时，取“=”
所以当C地为AB中点时，运油率P2有最大值．
点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，涉及了函数模型的比较，基本不等式求函数最值．
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（2）当C地选在何处时，运油率P2最大？
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