Question

求函数y=sin2x-2asinx+2acosx的最大值和最小值．

Answer 1

分析：设t=sinx-cosx，y=f （t）=-（t+a）²+a²+1，（|t|≤

2

），分|a|＞

2

和|a|≤

2

两种情况，分别求出函数y的
最大值和最小值．

解答：解：设t=sinx-cosx （-

2

≤t≤

2

），∴sin2x=1-t²，
y=f （t）=-t²-2at+1=-（t+a）²+a²+1，（|t|≤

2

），对称轴为 t=-a．
①当|a|＞

2

时，y_max =-（

2

-|a|）²+a²+1=2

2

|a|-1，y_min=-（

2

+|a|）²+a²+1=-2

2

|a|-1．
②当|a|≤

2

时，y_max=a²+1，
若-

2

≤a≤0，y_min=-（-

2

+a）²+a²+1=2

2

a-1．若

2

≥a＞0，y_min=-（

2

+a）²+a²+1=-2

2

a-1．
即 y_min=-2

2

|a|-1．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的值域，二次函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想，得到
y=f （t）=-t²-2at+1，是解题的关键．