Question

求函数y=sin2x-2sinx+2cosx的最大值和最小值，并指出当x取何值时，函数取得最值．

Answer 1

分析：利用换元法t=sinx-cosx，求出t的范围，通过二倍角求出sin2x与t的关系，得到函数关于t的二次函数，然后求出函数的最值，以及x的值．

解答：解：设t=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，…（2分）
则t∈[- 

2

，

2

]，
sin2x=2sinxcosx=1-t²．…（6分）
∴y=sin2x-2sinx+2cosx
=1-t²-2t
=-（t+1）²+2．…（8分）
∴当t=

2

时，即x=2kπ+

3π

4

，k∈Z时，y取得最小值为-1-2

2

；…（11分）
当t=1时，即x=2kπ或2kπ-

π

2

时，y取得最大值为2．…（14分）

点评：本题考查换元法，三角函数的化简求值，注意换元中元的范围，二次函数闭区间上的最值的应用，考查计算能力．