Question

给出下列命题：其中真命题为

①③

（填上序号）
①?α∈R，使得sin3α=3sinα；                   ②?k∈R，曲线

x2

16-k

-

y2

k

=1表示双曲线；
③?a∈R⁺，y=ae^xx²的递减区间为（-2，0）④?a∈R，对?x∈R，使得x²+2x+a＜0．

Answer 1

分析：令α=kπ（k∈z），可判断①的真假；当k=-2，可判断②的真假；利用导数法，判断出函数y=ae^xx²的单调性，可判断③的真假；根据二次函数的图象和性质，可以判断④的真假，进而得到答案．

解答：解：①中当α=kπ（k∈z）时，sin3α=3sinα成立，故①为真命题；
②中k=-2时，曲线表示椭圆，所以②为假命题；
③中由y'=ae^x（x²+2x），知a＞0时得递减区间为（-2，0），故③为真命题；
④中由于抛物线开口向上，一定存在x∈R，使x²+2x-a≥0，所以④为假命题．
故答案为①③

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握特称命题和全称命题真假判断的方法和技巧是解答本题的关键．