Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a²_n+1+a_n²+1=2（a_n+1a_n+a_n+1-a_n），求数列

1

a1a2

，

1

a2a3

，…，

1

anan+1

，…的前n项和S_n．

Answer 1

∵a_n+1²+a_n²+1=2（a_n+1a_n+a_n+1-a_n）
∴a_n+1²-2a_n+1•a_n+a_n²-2（a_n+1-a_n）+1=0
∴（a_n+1-a_n）²-2（a_n+1-a_n）+1=0
∴（a_n+1-a_n-1）²=0
∴a_n+1-a_n=1∴{a_n}为等差数列
∴a_n=a₁+（n-1）•1=n
∴S_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1