Question

设函数f（x）=x^α+1（α∈Q）的定义域为[-b，-a]∪[a，b]，其中0＜a＜b．若函数f（x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在区间[-b，-a]上的最大值与最小值的和为

-5或9

．

Answer 1

分析：先根据函数f（x）=x^α+1得f（x）-1=x^α，由题意知函数y=x^α，或是奇函数或是偶函数，再根据奇（偶）函数的图象特征，利用函数y=x^α在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，根据图象的对称性可得y=x^α在区间[-b，-a]上的最大值与最小值的情况，从而得出答案．

解答：解：∵函数f（x）=x^α+1∴f（x）-1=x^α，
由题意知函数y=x^α，或是奇函数或是偶函数，
①当函数y=f（x）-1=x^α，是奇函数时，
∴其图象关于原点对称，
又函数f（x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，
∴函数f（x）-1在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，
由对称性知：
函数f（x）-1在区间区间[-b，-a]上的最大值为-2，最小值为-5，
∴函数f（x）在区间区间[-b，-a]上的最大值为-1，最小值为-4，
则f（x）在区间[-b，-a]上的最大值与最小值的和为-5；
②当函数y=f（x）-1=x^α，是偶函数时，
∴其图象关于原点对称，
又函数f（x）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，
∴函数f（x）-1在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，
由对称性知：
函数f（x）-1在区间区间[-b，-a]上的最大值为5，最小值为2，
∴函数f（x）在区间区间[-b，-a]上的最大值为6，最小值为3，
则f（x）在区间[-b，-a]上的最大值与最小值的和为9；
故答案为：-5或9．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的最值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．